Question

（1）已知函數(shù)f（x）=2^x-x²，問方程f（x）=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)是否有解，為什么？
（2）若方程ax²-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）計(jì)算得f（-1）=-

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＜0，f（0）=2⁰-0²=1＞0，函數(shù)f（x）=2^x-x²的圖象是連續(xù)曲線，利用零點(diǎn)存在定理可得方程f（x）=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有解；
（2）方程ax²-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解⇒f（0）•f（1）＜0，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（-1）=2^-1-（-1）²=-

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＜0，
f（0）=2⁰-0²=1＞0，
而函數(shù)f（x）=2^x-x²的圖象是連續(xù)曲線，所以f（x）在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f（x）=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有解．
（2）∵方程ax²-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，即函數(shù)f（x）=ax²-x-1在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x-1在（0，1）內(nèi)沒有零點(diǎn)；
∴a≠0，由△=1+4a=0可得a=-

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，解方程-

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x²-x-1=0得：x=-2∉（0，1）；
∴函數(shù)f（x）=ax²-x-1在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，
只有f（0）•f（1）＜0，即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．
故a的取值范圍為（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，著重考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．