已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù).
(1)證明:f(x)=f(|x|)
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)是單調(diào)函數(shù),求滿足數(shù)學(xué)公式的所有x之和.

(1)證明:①若x≥0,則有|x|=x,既有f(|x|)=f(x).
②若x<0,則有|x|=-x,既有f(|x|)=f(-x).
因?yàn)閒(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x).因此f(|x|)=f(-x)=f(x).
綜上所述,f(x)=f(|x|)
(2)解:因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/180310.png' />,
由(1)可得
又因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí),f(x)是單調(diào)函數(shù),所以有
當(dāng)時(shí),整理得x2+5x+3=03,可得x1+x2=-54.
當(dāng)時(shí),整理得x2+3x-3=07,可得x1+x2=-38.
綜上可得所有的x之和為-8.
分析:(1)去絕對值,分x≥0和x<0,兩種情況討論.
(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為.再利用x≥0時(shí),f(x)是單調(diào)函數(shù),可得到求解.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性及其重要模型,還考查了函數(shù)的單調(diào)性定義,將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系來解方程.這類問題較為常規(guī),要熟練掌握.
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已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,-1),B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),那么|f(x+1)|<1的解集的補(bǔ)集是( 。

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(-∞,-1)∪(2,+∞)
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已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù).
(1)證明:f(x)=f(|x|)
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)是單調(diào)函數(shù),求滿足f(x)=f(
x+3x+4
)
的所有x之和.

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