已知函數(shù)f（x）是定義在R上的單調(diào)函數(shù)滿足f（-3）=2，，且對任意的實數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（Ⅰ）試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式數(shù)學(xué)公式．

解：（Ⅰ）結(jié)論：f（x）是R上的減函數(shù)．理由如下
∵對任意的實數(shù)a∈R有f（-a）+f（a）=0
∴f（-a）=-f（a）對任意的實數(shù)a∈R成立，可得函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
取x=0，得f（0）=0
∵f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，f（-3）=2＞0=f（0）
∴f（x）為R上的減函數(shù)．
（Ⅱ）由f（-3）=2，不等式等價于
又∵f（x）為R上的減函數(shù)，∴原不等式可化為：
整理得：，解之得：x＜-1或x＞0
∴不等式的解集為（-∞，-1）∪（0，+∞）．
分析：（I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，不難得到f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，再根據(jù)已知條件函數(shù)是單調(diào)函數(shù)且f（-3）＞f（0），可得函數(shù)是R上的減函數(shù)．
（II）原不等式可化為：，再由（I）的單調(diào)性可得，最后根據(jù)分式不等式的解法即可得到原不等式的解集．
點評：本題給出抽象函數(shù)為奇函數(shù)且在E上為減函數(shù)，求關(guān)于x的不等式的解集，著重考查了函數(shù)單調(diào)性的奇偶性等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標(biāo)為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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