精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問(wèn):|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.
分析:(1)由f(2)=2+
a
2
=2+
2
2
求解a.
(2)先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則有y0=x0+
2
x0
,x0>0,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得|PM|,|PN|計(jì)算即可.
(3)由(2)可將S四邊形OMPN轉(zhuǎn)化為S△OPM+S△OPN之和,分別用直角三角形面積公式求解,再構(gòu)造S四邊形OMPN面積模型求最值.
解答:解:(1)∵f(2)=2+
a
2
=2+
2
2
,∴a=
2

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則有y0=x0+
2
x0
,x0>0,
由點(diǎn)到直線的距離公式可知,|PM|=
|x0-y0|
2
=
1
x0
,|PN|=x0
∴有|PM|•|PN|=1,即|PM|•|PN|為定值,這個(gè)值為1.
(3)由題意可設(shè)M(t,t),可知N(0,y0).
∵PM與直線y=x垂直,
∴kPM•1=-1,即
y0-t
x0-t
=-1.解得t=
1
2
(x0+y0).
又y0=x0+
2
x0
,∴t=x0+
2
2x0

∴S△OPM=
1
2x02
+
2
2
,S△OPN=
1
2
x02+
2
2

∴S四邊形OMPN=S△OPM+S△OPN=
1
2
(x02+
1
x02
)+
2
≥1+
2

當(dāng)且僅當(dāng)x0=1時(shí),等號(hào)成立.
此時(shí)四邊形OMPN的面積有最小值:1+
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,還考查了平面圖形的轉(zhuǎn)化與面積模型建立與解決.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案