Question

△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊邊長分別是a，b，c，且滿足

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的值；
（2）若b=

19

，a+c=5，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理化簡已知的等式，把邊化為角后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式整理，由sinA不為0，可得出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由第一問求出的B的度數(shù)求出cosB的值，再由b的值，利用余弦定理列出關(guān)于a與c的關(guān)系式，與a+c=5聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可得出a與c的值．

解答：解：（1）∵

cosB

cosC

=-

b

2a+c

，
由正弦定理得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
∴cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，
∴2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0，即2cosBsinA+sin（C+B）=0．
又∵sinA=sin（C+B），sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，
∴B=

2π

3

；（7分）
（2）依題意，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
a²+c²+ac=19①，又∵a+c=5②，
聯(lián)立①②解得a=2，c=3或a=3，c=2．（14分）

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，誘導公式以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．