Question

17．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\sqrt{x}$+1；   
（2）y=-x²+4x-7（x∈[0，3]）    
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 ①由x≥0，可得y=$\sqrt{x}$+1≥1，即可得出函數(shù)的值域；
②y=-x²+4x-7=-（x-2）²-3，利用當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，此函數(shù)單調(diào)遞減，即可得出．
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1．由于x²≥0，可得0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤1，即可得出此函數(shù)的值域．

解答 解：①∵x≥0，∴$\sqrt{x}$≥0，∴y=$\sqrt{x}$+1≥1，因此函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）；
 ②y=-x²+4x-7=-（x-2）²-3，可知：當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因此y∈[-7，-3）；
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此y∈[-4，-3]．
∴函數(shù)y=-x²+4x-7（x∈[0，3]） 的值域?yàn)閇-7，-3]．
（3）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1．
∵x²≥0，
∴0＜$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤1，
∴$\frac{2}{1+{x}^{2}}$-1∈（-1，1]．
即y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$的值域?yàn)椤剩?1，1]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的值域求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．