Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x

+1≥0對任意的x∈[2，+∞）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)條件寫出函數(shù)和導函數(shù)，即在x=2處取得極小值．函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，寫出關于t的不等式，解出結果．
（II）寫出要用的函數(shù)式，根據(jù)條件中的恒成立問題，得到x²-bx+1≥0對任意的x∈[2，+∞）恒成立，看出函數(shù)的單調性，根據(jù)最值之間的關系寫出結果．

解答：解：（Ⅰ）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）=0得x=0，2，根據(jù)導數(shù)的符號可以得出函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，
在x=2處取得極小值．函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，
則只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．
所以t的取值范圍是（-1，0）．                                   
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x

+1≥0對任意的x∈[2，+∞）恒成立，
即x²-bx+1≥0對任意的x∈[2，+∞）恒成立，
也即b≤x+

1

x

在對任意的x∈[2，+∞）恒成立．    
令g(x)=x+

1

x

，則g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

＞0，x∈[2， +∞)．
則函數(shù)g(x)=x+

1

x

在x∈[2，+∞）上單調遞增，
當x=2時取最小值g(2)=

5

2

，故只要b≤

5

2

即可．
所以b的取值范圍是(-∞，

5

2

]．

點評：本題看出函數(shù)的極值的應用和函數(shù)的恒成立問題，解題的關鍵是對于恒成立問題的理解，用函數(shù)的最值思想解決恒成立問題是常見的一種形式．