Question

已知五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，五邊形ABCDE中，BA⊥AE，AB⊥BC，AB=2

3

，PA=BC=CD=DE=EA=2．
（1）證明：BE∥平面PCD；
（2）若M、N、F分別是BE、PC、CD的中點，證明：平面MNF⊥平面PCD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知推BE∥CD，最終可推出BE∥平面PCD；（2）證明MN⊥CD，CD⊥MF，從而證明CD⊥平面MNF，最終推出平面MNF⊥平面PCD．

解答： 解：（1）證明：在五邊形ABCDE中，BA⊥AE，AB⊥BC，
可知AE∥BC，連接CE，因AE=BC，
則四邊形ABCE是平行四邊形，又AB⊥BC，
則四邊形ABCE是矩形，AB=CE=2

3

，
又CD=DE=2，
則∠CDE=120°，∠ECD=∠DEC=30°，
則∠BCD=120°，
在△BCE中，CE=2

3

，BC=2，∠BCE=90°
則∠EBC=60°，
所以BE∥CD．
∴BE∥平面PCD．
（2）連接AC，由（1）知ABCE是矩形，M是BE的中點，
則M是AC的中點，又∵N是PC的中點，
則MN∥PA，又∵PA⊥平面ABCDE．
則MN⊥平面ABCDE，
則MN⊥CD，
在△BCE中，CE=2

3

，BC=2，∠BCE=90°，
則BE=4，∠EBC=60°，
又∵四邊形ABCE是矩形，
∴AC=4，MB=MC=2=BC，可得∠BMC=60°，
又∵BE∥CD；
則∠MCD=60°，
又∵M(jìn)C=2，CF=

1

2

CD=1，
則∠MFC=90°，
即CD⊥MF．
∴CD⊥平面MNF，
∴平面MNF⊥平面PCD．

點評：本題考查了空間幾何體中數(shù)量的運(yùn)算，并通過運(yùn)算判定線線，線面的位置關(guān)系，同時考查了線面平行的判定定理，及面面垂直的判定定理，屬于中檔題．