Question

4．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（只要求寫(xiě)出計(jì)算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）
（Ⅱ）隨機(jī)抽取8位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
（i）若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；
（ii）若這8位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說(shuō)明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}}$；回歸直線的方程是：$\widehaty=bx+a$，其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，a=$\overline y-b\overline x$，$\widehat{y_i}$是與x_i對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考數(shù)據(jù)：$\overline x=77.5，\overline y=84.875，{\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}^2}≈1050，{\sum_{i=1}^8{（{y_i}-\overline y）}^2}$≈457，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）≈688，\sqrt{1050}≈32.4，\sqrt{457}≈21.4，\sqrt{550}$≈23.5．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算，使用組合數(shù)公式得出樣本個(gè)數(shù)；
（II）（i）使用乘法原理計(jì)算；
（ii）根據(jù)回歸方程計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程．

解答 解：（I）應(yīng)選女生$25×\frac{8}{40}=5$位，男生$15×\frac{8}{40}=3$位，可以得到不同的樣本個(gè)數(shù)是$C_{25}^5C_{15}^3$．
（II）（i）這8位同學(xué)中恰有3位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個(gè)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)中選3個(gè)與數(shù)學(xué)優(yōu)秀分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)，種數(shù)是$C_4^3A_3^3$（或$A_4^3$），然后將剩下的5個(gè)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)和物理分?jǐn)?shù)任意對(duì)應(yīng)，種數(shù)是$A_5^5$，根據(jù)乘法原理，滿足條件的種數(shù)是$C_4^3A_3^3A_5^5$．這8位同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)的種數(shù)共有$A_8^8$種．
故所求的概率$P=\frac{C_4^3A_3^3A_5^5}{A_8^8}=\frac{1}{14}$．
（ii）變量y與x的相關(guān)系數(shù)$r≈\frac{688}{32.4×21.4}≈0.99$．可以看出，物理與數(shù)學(xué)成績(jī)高度正相關(guān)．也可以數(shù)學(xué)成績(jī)x為橫坐標(biāo)，物理成績(jī)y為縱坐標(biāo)做散點(diǎn)圖如下：

從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學(xué)成績(jī)高度正相關(guān)．
設(shè)y與x的線性回歸方程是$\widehaty=bx+a$，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，
所以y與x的線性回歸方程是$\widehaty≈0.66x+33.73$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)據(jù)處理，概率計(jì)算，回歸方程得解法，屬于中檔題．