Question

設(shè)f（x）=ax²+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）與g（x）在x同一個(gè)值時(shí)都取極值，求a；
（2）對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，當(dāng)a≤-8時(shí)有一個(gè)最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]時(shí)，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表達(dá)式；
（ii）求M（a）的最大值及相應(yīng)的a的值．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）在x=-

4

a

時(shí)取得極值．由于f（x）與g（x）在x同一個(gè)值時(shí)都取極值，故由g'（x）=3ax²+16x+3知
g/(-

4

a

)=0，從而渴求的故a=

16

3

．
（2）（i）先求得f(x)max=3-

16

a

．再分類討論：當(dāng)3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時(shí)，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的較大根，故可求；
（ii）由 M(a)=

-2 4-2a -4

a

=

4

4-2a -2

由于a≤-8，故可求

解答：解：（1）易知a≠0，f（x）在x=-

4

a

時(shí)取得極值．
由g（x）=ax³+8x²+3x得g'（x）=3ax²+16x+3
由題意得：3a•(-

4

a

)2+16•(-

4

a

)+3=0．故a=

16

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)a=

16

3

時(shí)滿足題意．
（2）（i）因a＜0， f(x)=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

．∴f(x)max=3-

16

a

．
情形一：當(dāng)3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0時(shí)，此時(shí)不滿足條件．
情形二：當(dāng)3-

16

a

≤5，即a≤-8時(shí)，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax²+8x+3=-5的較大根，則M(a)=

-2 4-2a -4

a

．
∴M(a)=

-2 4-2a -4

a

（ii） M(a)=

-2 4-2a -4

a

=

4

4-2a -2

≤

5 +1

2

，
∴當(dāng)a=-8時(shí)，M(a)max=

5 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．