精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數f（x）為“M函數”．給出下列四個函數：①f（x）=x+1  ②f（x）=-x2+1  ③f（x）=2x-2  ④f（x）=
x
-
1
8

其中所有“M函數”的序號為
②③④
②③④
．
分析：根據定義域求出值域，然后尋找其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]的a與b的值，即可判定．
解答：解：（1）①f（x）=x+1，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到滿足條件的a與b，根據定義可知f（x）=x+1不是“M函數”；
②f（x）=-x2+1，當x∈[0，1]時，f（x）的值域是[0，1]，根據定義可知f（x）=-x2+1是“M函數”；
③f（x）=2x-2，由于它在R上是增函數，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[2a-2，2b-2]，
由2a-2=a，2b-2=b，得2a=a+2，2b=b+2，
∵函數y=2x與y=x+2有兩個交點，
根據定義可知f（x）=2x-2是“M函數”；
④f（x）=
x
-
1
8
，由于它在R上是增函數，當x∈[a，b]時，f（x）的值域是[
a
-
1
8
，
b
-
1
8
]，
由a=
a
-
1
8
，b=
b
-
1
8
，得
a
=a+
1
8
，
b
=b+
1
8
，
∵y=
x
與y=x+
1
8
有兩個交點，
根據定義可知f（x）=
x
-
1
8
是“M函數”；
綜上，所有“M函數”的序號為②③④．
故答案為：②③④．
點評：本題考查了函數的定義域及其求法，函數的值域問題．對于函數的定義域是指使得函數的解析式有意義的取值范圍，要熟悉基本初等函數的定義域以及常見函數的限制條件，求函數的值域要注意考慮定義域的取值，再根據函數的解析式進行判斷該使用何種方法求解值域．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個函數：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數有
 
（填出所有滿足條件的函數序號）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“科比函數”．若函數f（x）=k+
x+2
是“科比函數”，則實數k的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點．如果函數
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個相異的不動點x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關于直線x=m對稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動點”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數f（x）的不動點．若函數f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個不動點0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數f（x）的單調區(qū)間，
（2）已知各項不為0的數列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數列{an}的前n項和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設bn=-
1
an
，Tn表示數列{bn}的前n項和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案