Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，E為BB₁中點，∠A₁DE=90°．
（I）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（II）求二面角C-A₁E-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）證明：連接AE．求出AB=2    求出AE=3．求出：AD=BD=．即D點是AB的中點，CD是等腰RT△ABC的斜邊AB上的中線，
證明CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA₁∩AB=A，即可得到CD⊥面A₁ABB．
（II）過D作DH⊥A₁E于H，求出A₁E=3，DE，A₁D，DH，即可求出二面角C-A₁E-D的正切值為：=1，二面角C-A₁E-D的大小為45°
解答：（I）證明：連接AE．在△ABC中，用勾股定理，求出AB=2         
在△A₁B₁E中，用勾股定理，求出AE=3．
在△AA₁D中，有：A₁D²=AA₁²+AD²
在△BDE中，有：DE²=BE²+BD²
在△A₁DE中，有AE²=A₁D²+DE²=（AA₁²+AD²）+（BE²+BD²）
AB=AD+BD（與上式聯(lián)立，解方程組）
可以求出：AD=BD=．即D點是AB的中點，CD是等腰RT△ABC的斜邊AB上的中線，
也就是斜邊上的高（CD⊥AB）．
又在直三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA1⊥底面ABC，又CD∈面ABC，則AA₁⊥CD．
綜合上述條件，CD⊥AB，CD⊥AA1，且AA₁∩AB=A．，有CD⊥面A₁ABB₁
（II）過D作DH⊥A₁E于H，AC=BC=AA₁=2，A₁E=3，DE=，A₁D=，DH==
所以，二面角C-A₁E-D的正切值為：=1，二面角C-A₁E-D的大小為45°
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．