Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，g（x）=Asin（x-

π

6

），（a≠0）
（1）當(dāng) 0≤x≤

π

2

時，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)A的取值范圍；
（3）問a取何值時，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意可得f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，設(shè)t=sinx，則t∈[0，1]，且f（sinx）=y=2(t-

3

4

)2-

1

8

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y_max ．
（2）求得f（x₁）值域為[-

1

8

，10]，分A＞0和 A＜0兩種情況，分別利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x₂）的值域，依據(jù)f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，求得A的范圍．
（3）由題意可得，2sin²x-2sinx+1=a 在[0，2π）上有兩解．令sinx=t，則t∈[-1，1]，故只有 2t²-2t+1=a在（-1，1）上僅有一個解或相等解，則x有兩解，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，∴f（sinx）=2sin²x-3sinx+1．
設(shè)t=sinx，∵0≤x≤

π

2

，∴t∈[0，1]，∴f（sinx）=y=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴當(dāng)t=0時，y_max=1．
（2）當(dāng)x₁∈[0，3]，∴f（x₁）值域為[-

1

8

，10]，
當(dāng)x₂∈[0，3]時，則-

π

6

≤x₂-

π

6

≤3-

π

6

，故有-

1

2

≤sin（x₂-

π

6

）≤1，
①當(dāng)A＞0時，g（x₂）的值域為[-

A

2

，A]，②當(dāng)A＜0時，g（x₂）的值域為[A，-

A

2

]．
而依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，
則

A＞0 10≤A - 1 8 ≥- A 2

，或

A＜0 10≤- A 2 - 1 8 ≥A

，∴A≥10，或A≤-20．
（3）方程2sin²x-3sinx+1=a-sinx，化為2sin²x-2sinx+1=a，則此方程在[0，2π）上有兩解．
令sinx=t  則t∈[-1，1]，且 2t²-2t+1=a 在[-1，1]上解的情況如下：
①當(dāng)在（-1，1）上只有一個解或相等解，則x有兩解．
令h（t）=2t²-2t+1-a，則h（t）的圖象的對稱軸方程為t=1，
故有h（-1）•h（1）=（5-a）（1-a）＜0 或△=4-8（1-a）=0．
解得 a∈（1，5）或a=

1

2

．
②當(dāng)t=-1時，x有惟一解x=

3π

2

，不滿足條件；③當(dāng)t=1時，x有惟一解x=

π

2

，不滿足條件．
綜上可得，a∈（1，5）或a=

1

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．