Question

已知函數(shù)f（x）=

[sinx+cos(π+x)]•cos( π 2 -2x)

sinx

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,運用誘導公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）由sinx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z，可得f（x）的定義域．利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)-1，可得f（x）的最小正周期．．
（II）由f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（I）由sinx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z，∴f（x）的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．
由于函數(shù)f（x）=

[sinx+cos(π+x)]•cos( π 2 -2x)

sinx

=

(sinx-cosx)sin2x

sinx

=2sinxcosx-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）：由f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1，令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，
解得：kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎題．