設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑．
證明
x
+
y
+
z
≤
1
2R
a2+b2+c2
．
分析：對待證不等式
x
+
y
+
z
≤
1
2R
a2+b2+c2
的左邊進行配湊后應(yīng)用柯西不等式，結(jié)合三角形中邊的幾何性質(zhì)ax+by+cz=2S=2•
abc
4R
=
abc
2R
進行放縮即得．
解答：證明：由柯西不等式得，
x
+
y
+
z
=
ax
1
a
+
by
1
b
+
cz
1
c

≤
ax+by+cz
•
1
a
+
1
b
+
1
c

記S為△ABC的面積，則ax+by+cz=2S=2•
abc
4R
=
abc
2R
（5分）
x
+
y
+
z
≤
abc
2R
ab+bc+ca
abc
=
1
2R
ab+bc+ca
≤
1
2R
a2+b2+c2

故不等式成立．（10分）
點評：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為平面內(nèi)一定點，設(shè)條件p：動點M滿足
OM
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），λ∈R；條件q：點M的軌跡通過△ABC的重心．則條件p是條件q的（　　）
A、充要條件
B、充分不必要條件
C、必要不充分條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點，滿足3
OA
+2
OB
+
OC
=
0
．P是△ABC內(nèi)任一點，S△ABC表示△ABC的面積，記f(P)=(
S△PBC
S△ABC
，
S△PCA
S△ABC
，
S△PAB
S△ABC
)，若f(P)=(
1
3
，
7
15
，
1
5
)，則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年陜西省高三上學(xué)期月考理科數(shù)學(xué) 題型：選擇題

已知為平面內(nèi)一定點,設(shè)條件p:動點滿足,R;

條件q:點的軌跡通過△ABC的重心．則條件p是條件q的                 （    ）

A．充要條件                  B．充分不必要條件 

C．必要不充分條件          D．既不充分也不必要條件

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點，滿足數(shù)學(xué)公式．P是△ABC內(nèi)任一點，S△ABC表示△ABC的面積，記數(shù)學(xué)公式，若數(shù)學(xué)公式，則


  1. A.
    點P與O重合
  2. B.
    點P在△OCA內(nèi)
  3. C.
    點P在△OAB內(nèi)
  4. D.
    點P在△OBC內(nèi)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三（上）11月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

設(shè)O為△ABC內(nèi)一定點，滿足．P是△ABC內(nèi)任一點，S△ABC表示△ABC的面積，記，若，則（ ）
A．點P與O重合
B．點P在△OCA內(nèi)
C．點P在△OAB內(nèi)
D．點P在△OBC內(nèi)

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