Question

已知f（x）=

x2+ax+b

x

（x∈（0，+∞）），存在實數(shù)a，b，使f（x）滿足：（i）f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）是增函數(shù)；
（ii）f（x）的最小值是5．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）（理科）求y=f（x）的圖象與三直線x=1，x=e及y=0所圍成的圖形面積；
（3）若函數(shù)F（x）=f（x）-c•cosx，當(dāng)x∈(0，

π

6

]時是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將解析式化簡后求出f′(x)=1-

b

x2

，由條件得f′（2）=0和f（2）=5，求出a和b，再求出函數(shù)的解析式；
（2）由（1）和定積分求出所圍成的圖形面積即可；
（3）將條件轉(zhuǎn)化為：F′(x)=1-

4

x2

+c•sinx≤0在(0，

π

6

]恒成立，再分離出常數(shù)c，求出對應(yīng)函數(shù)的最小值，即求出c的范圍．

解答：解：（1）由f（x）=

x2+ax+b

x

=x+

b

x

+a得，f′(x)=1-

b

x2

，
∵f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在x=2出取得極小值，也是函數(shù)的最小值，
則f′（2）=0，∴1-

b

4

=0，解得b=4，
又∵f（2）=5，∴

4+2a+b

2

=5，解得a=1，
∴f(x)=x+

4

x

+1；
（2）由題意得，s=

∫

e 1

 f(x)dx=F(e)-F(1)=

1

2

e2+e+4-

1

2

-1
=

1

2

e2+e+

5

2

；
（3）由題意知，F(xiàn)（x）=f（x）-c•cosx在(0，

π

6

]上是減函數(shù)，
∴F′(x)=1-

4

x2

+c•sinx≤0對于x∈(0，

π

6

]恒成立，
則c≤

4 x2 -1

sinx

，
當(dāng)x=

π

6

時有(

4 x2 -1

sinx

)min=

288

π2

-2，
∴c≤

288

π2

-2．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，以及定積分求圖形的面積，函數(shù)恒成立問題的轉(zhuǎn)化，和分離常數(shù)法，考查了的范圍較廣，屬于中檔題．