6.(理科做)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
求證:
(1)AC⊥BC1;
(2)AC1∥平面B1CD.
(3)若AC=BC=$\frac{1}{2}$CC1,求直線CC1與平面ABC1所成角的正切值.

分析 (1)由直三棱柱的性質(zhì)可得CC1⊥平面ABC,即CC1⊥AC,又AC⊥BC,由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCC1B1,則AC⊥BC1;
(2)設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為O,連結(jié)OD,可得OD∥AC1,由線面平行的判定可得AC1∥平面B1CD;
(3)連結(jié)C1D,由CC1⊥平面ABC,得CC1⊥AB,再由CD⊥AB,得AB⊥平面C1CD,可知C1D是C1C在平面ABC1 上的射影,則∠CC1D為直線CC1與平面ABC1 所成的角.求解直角三角形得答案.

解答 (1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥AC,又AC⊥BC,BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1B1,
∴AC⊥BC1;
(2)設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為O,連結(jié)OD,
∵BCC1B1為平行四邊形,∴O為B1C的中點(diǎn),又D是AB的中點(diǎn),
∴OD是三角形ABC1 的中位線,則OD∥AC1,
又∵AC1?平面B1CD,OD?平面B1CD,∴AC1∥平面B1CD;
(3)連結(jié)C1D,∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AB,
又∵AC=BC,D為AB的中點(diǎn),
∴CD⊥AB,則AB⊥平面C1CD,
∴平面ABC1⊥平面C1CD,
∴C1D是C1C在平面ABC1 上的射影,則∠CC1D為直線CC1與平面ABC1 所成的角.
∵$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$,CC1=2AC,∴$tan∠C{C}_{1}D=\frac{CD}{C{C}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
∴直線CC1與平面ABC1 所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

點(diǎn)評 本題考查空間中的直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,考查了線面角的求法,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=$\sqrt{x},則f(\frac{7}{2})$等于( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是(  )
A.(x+$\frac{1}{x}$)′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$B.(xlnx)′=lnx+1C.(cosx)′=sinxD.(2x)′=x2x-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得360和504的最大公約數(shù)是( 。
A.36B.72C.24D.2 520

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知M(x0,y0)是雙曲線C:$\frac{x^2}{2}$-y2=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn),若∠F1MF2為鈍角,則x0的取值范圍是-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$<x0<$\frac{2\sqrt{6}}{3}$且x0≠$±\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.若實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2>0}\\{y-x-1<0}\\{x≤1}\end{array}\right.$,設(shè)u=x+2y,v=2x+y,則$\frac{u}{v}$的最大值為( 。
A.1B.$\frac{5}{4}$C.$\frac{7}{5}$D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知非零向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$,|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3|$\overrightarrow b$|,則cos<$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$>=( 。
A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=sin($\frac{π}{2}$-x)sinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)討論f(x)在[$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$]上的單調(diào)性,并求出在此區(qū)間上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.($\frac{1}{4}$)-2+$\frac{1}{2}$log36-log3$\sqrt{2}$=$\frac{33}{2}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案