Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*)

，設b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求S_n；
（2）證明：當n≥6時，|S_n-2|＜

1

n

．

Answer 1

（1）由已知得，a2n-1=

2n-1+1

2

=n，a2n=2

2n

2

=2n，故bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，…（2分）
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n…（3分）

1

2

S_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n•(

1

2

)n+1…（4分）
兩式相減得，

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1…（5分）
化簡得S_n=2-(n+2)(

1

2

)n．…（7分）
（2）由（1）|S_n-2|=(n+2)(

1

2

)n，
因而|S_n-2|＜

1

n

?(n+2)(

1

2

)n＜

1

n

?n（n+2）＜2ⁿ
問題轉化為證明：當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，…（9分）
采用數學歸納法．
①當n=6時，n（n+2）=6×8=48，2ⁿ=2⁶=64，48＜64，
此時不等式成立，…（10分）
②假設n=k（k≥6）時不等式成立，即k（k+2）＜2^k，…（11分）
那么當n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞2k（k+2）=2k²+4k=k²+4k+k²
＞k²+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）（k+1）+2
這說明，當n=k+1時不等式也成立…（13分）
綜上可知，當n≥6時，n（n+2）＜2ⁿ，成立，原命題得證．…（14分）