Question

【題目】已知函數(shù)(其中是常數(shù)，且)，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）若存在(其中是自然對(duì)數(shù)的底)，使得成立，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，利用斜率和函數(shù)值建立等式關(guān)系，則可求出的值. （2）由條件可知，原題等價(jià)于在上有解，設(shè)，即，求導(dǎo)求函數(shù)的最值，從而求出的取值范圍. （3）通過(guò)求導(dǎo)分析的單調(diào)性和最值，分類(lèi)討論求出的取值范圍.

（1），由題知，且，

解得；

（2）由（1）知，因?yàn)榇嬖?/span>，使得，

即，設(shè)，則需，

，設(shè)，則在上恒成立，

即單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，

即單調(diào)遞增，所以，

令，解得；

（3），，

①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，易知方程均僅有唯一解，

且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

故方程最多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以不符合題意；

② 當(dāng)時(shí)，若，則恒成立，單調(diào)遞增，

方程最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不符題意，

所以對(duì)任意，應(yīng)有，即，

此時(shí)，易知方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

因?yàn)?/span>，不妨取，則有，列表如下：

		極大值		極小值

由表可知，的極大值為，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，且，所以，

因?yàn)?/span>，所以必然存在，

使得方程在區(qū)間上均有一個(gè)實(shí)數(shù)解，符合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.