Question

已知雙曲線M：x²-y²=1，直線l與雙曲線M的實(shí)軸不垂直，且依次交直線y=x，雙曲線M，直線y=-x于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若AD=AB=DC，求證：△AOD的面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：如圖所示，設(shè)A（m，m），D（n，-n），由AD=AB=DC，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：B（2m-n，2m+n），C（2n-m，-2n-m）．把B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得（2m-n）²-（2m+n）²=1，可得mn=-

1

4

．利用三角形面積計(jì)算公式S=

1

2

|x1y2-x2y1|即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)A（m，m），D（n，-n），
由AD=AB=DC，可得：A為BD的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
∴B（2m-n，2m+n），C（2n-m，-2n-m）．
把B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得（2m-n）²-（2m+n）²=1，
化為mn=-

1

4

．
由三角形面積計(jì)算公式S=

1

2

|x1y2-x2y1|
可得S_△AOD=

1

2

|mn-(-mn)|=|mn|=

1

4

．
即：△AOD的面積為定值

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．