Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-xlnx+2，若存在區(qū)間$[{a，b}]⊆[{\frac{1}{2}，+∞}）$，使f（x）在[a，b]上的值域為[k（a+2），k（b+2）]，則k的取值范圍為（1，$\frac{9+2ln2}{10}$）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性得出f（x）=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上有兩解，作出函數(shù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出k的范圍．

解答 解：f′（x）=2x-lnx+1，f″（x）=2-$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時，f″（x）≥0，
∴f′（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥f′（$\frac{1}{2}$）=2-ln$\frac{1}{2}$＞0，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵[a，b]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，
∵f（x）在[a，b]上的值域為[k（a+2），k（b+2）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=k（a+2）}\\{f（b）=k（b+2）}\end{array}\right.$，∴方程f（x）=k（x+2）在[$\frac{1}{2}$．+∞）上有兩解a，b．
作出y=f（x）與直線y=k（x+2）的函數(shù)圖象，則兩圖象有兩交點．

若直線y=k（x+2）過點（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}+\frac{1}{2}ln2$），則k=$\frac{9+2ln2}{10}$，
若直線y=k（x+2）與y=f（x）的圖象相切，設(shè)切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k（{x}_{0}+2）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}ln{x}_{0}+2}\\{2{x}_{0}-ln{x}_{0}+1=k}\end{array}\right.$，解得k=1．
∴1＜k＜$\frac{9+2ln2}{10}$．
故答案為：（1，$\frac{9+2ln2}{10}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，零點個數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．