Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁+a₅=17．
（1）若{a_n}還同時(shí)滿足：
①{a_n}為等比數(shù)列；②a₂a₄=16；③對(duì)任意的正整數(shù)n，a_2n＜a_2n+2，試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若{a_n}為等差數(shù)列，且S₈=56．
①求該等差數(shù)列的公差d；②設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=3ⁿ•a_n，則當(dāng)n為何值時(shí)，b_n最大？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，即可求出a₁，a₅的值，繼而求出公比，寫出通項(xiàng)公式即可
（2）①{a_n}為等差數(shù)列，且a₁+a₅=17，S₈=56，建立方程組，即可求得該等差數(shù)列的公差d；②確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，判斷其單調(diào)性，即可求得b_n最大值

解答 解：（1）因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，則a₂a₄=a₁a₅=16，又a₁+a₅=17，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{5}=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=16}\\{{a}_{5}=1}\end{array}\right.$
從而a_n=2^n-1或a_n=（-2）^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1或a_n=16×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
由③得，a_n=2^n-1或a_n=16×（$\frac{1}{2}$）^n-1  
（2）①由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=17}\\{8{a}_{1}+28d=56}\end{array}\right.$，解得d=-1
②由①知a₁=$\frac{21}{2}$，所以an=$\frac{23}{2}$-n，則b_n=3ⁿ•a_n=3ⁿ•（$\frac{23}{2}$-n），
因?yàn)閎_n+1-b_n=2×3ⁿ×（10-n）
所以b₁₁=b₁₀，且當(dāng)n≤10時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥11時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
故當(dāng)n=10或n=11時(shí)，b_n最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．