Question

6．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+2}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是M，N是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，求MN的最大值．

Answer 1

分析 利用x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．將直線l的參數(shù)方程消去t化為直角坐標(biāo)方程：$y=-\frac{4}{3}（x-2）$，
令y=0，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．

解答 解：曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ²=2ρsinθ．又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2y=0．
將直線l的參數(shù)方程消去t化為直角坐標(biāo)方程：$y=-\frac{4}{3}（x-2）$，
令y=0，得x=2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．又曲線C的圓心坐標(biāo)為（0，1），
半徑r=1，則$|{MC}|=\sqrt{5}$，
∴$|{MN}|≤|{MC}|+r=\sqrt{5}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．