Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1（a∈R）在[2，+∞）上單調遞增，
（1）若函數(shù)y=f（2^x）有實數(shù)零點，求滿足條件的實數(shù)a的集合A；
（2）若對于任意的a∈[1，2]時，不等式f（2^x+1）＞3f（2^x）+a恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2^x＞0可知f（x）在（0，+∞）上有零點，根據(jù)二次函數(shù)的性質列出不等式組得出a的取值范圍；
（2）化簡不等式得（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0，令g（a）=（2^x+1-1）a+2^2x-2（1≤a≤2），根據(jù)一次函數(shù)的性質列不等式組得出a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在a∈R單調遞增區(qū)間是[a，+∞），
因為f（x）在[2，+∞）上單調遞增，所以a≤2；
令2^x=t（t＞0），則f（2^x）=f（t）=t²-2at+1（t＞0），
函數(shù)y=f（2^x）有實數(shù)零點，即：y=f（t）在（0，+∞）上有零點，
只需：$（\begin{array}{l}△=4{a^2}-4≥0\\ a＞0\\ f（0）＞0\end{array}\right.$，解得a≥1．
綜上：1≤a≤2，∴A={a|1≤a≤2}．
（2）f（2^x+1）＞3f（2^x）+a化簡得（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0，
因為對于任意的a∈A時，不等式f（2^x+1）＞3f（2^x）+a恒成立，
即對于1≤a≤2不等式（2^x+1-1）a+2^2x-2＞0恒成立，
設g（a）=（2^x+1-1）a+2^2x-2（1≤a≤2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}-1+{2}^{2x}-2＞0}\\{2（{2}^{x+1}-1）+{2}^{2x}-2＞0}\end{array}\right.$
∴解得2^x＞1，∴x＞0，
綜上，滿足條件的x的范圍為（0，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)恒成立問題研究，屬于中檔題．