Question

5．F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁（作斜率為k的直線交雙曲線右支于點(diǎn)P，且∠F₁PF₂為銳角，M為線段F₁P的中點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作OT⊥F₁P于點(diǎn)T，且|OM|-|TM|=b-a，則k=（　�。�

• A． $\frac{a}$
• B． $\frac{a}$
• C． $\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
• D． $\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$

Answer 1

分析 運(yùn)用雙曲線的定義和三角形的中位線定理，結(jié)合條件，可得|F₁T|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MT|=b，再由直角三角形的勾股定理可得|OT|=a，再由直角三角形的正切函數(shù)的定義，即可得到所求k的值．

解答 解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
M為線段F₁P的中點(diǎn)，OM為△F₁PF₂的中位線，
可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF₂|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF₁|-a，
由|OM|-|TM|=b-a，
可得|MT|=|OM|-b+a
=$\frac{1}{2}$|PF₁|-a-b+a=$\frac{1}{2}$|PF₁|-b，
即有|F₁T|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MT|=b，
在直角三角形OF₁T中，|OT|=$\sqrt{|O{F}_{1}{|}^{2}-|{F}_{1}T{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
即有k=tan∠TF₁O=$\frac{|OT|}{|T{F}_{1}|}$=$\frac{a}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，以及三角形的中位線定理、直角三角形的勾股定理，直線的斜率與正切函數(shù)的關(guān)系式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．