Question

已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程；

（2）若線(xiàn)段的中垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，求面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（2） 。

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）通過(guò)分析已知條件，確定直線(xiàn)的斜率存在，故可設(shè)直線(xiàn)方程為，通過(guò)聯(lián)立方程組 ，消去，應(yīng)用韋達(dá)定理及，建立k的方程，求解。

（2）通過(guò)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

確定線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，

將用k表示， ，

利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到，進(jìn)一步確定三角形面積的最值。

解：（1）依題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)為，

則直線(xiàn)方程為 1分

聯(lián)立方程 ，消去，并整理得  2分

則由，得

設(shè)，則       4分

      5分

以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

，解得        6分

直線(xiàn)的方程為，即         7分

（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

由（1）得         8分

線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為         9分

令，得    11分

又由（1）知，且 或

，   13分

面積的取值范圍為            14分

考點(diǎn)：直線(xiàn)方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用“待定系數(shù)法”，涉及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。