Question

11．如圖所示，四棱錐P  ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=PD=$\sqrt{5}$，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)，二面角PADB為60°．
（1）證明：平面PBC⊥平面ABCD；
（2）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接PE，BE，由已知推導(dǎo)出∠PEB為二面角P-AD-B的平面角，推導(dǎo)出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能證明平面PBC⊥平面ABCD．
（2）連接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由此能求出直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連接PE，BE，
∵PA=PD，BA=BD，而E為AD中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB為二面角P-AD-B的平面角．
在△PAD中，由PA=PD=$\sqrt{5}$，AD=2，解得PE=2．
在△ABD中，由BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，解得BE=1．
在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60?，
由余弦定理，解得PB=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴∠PBE=90?，即BE⊥PB．
又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．
又BE?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．
解：（2）連接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，
∴∠EFB為直線EF與平面PBC所成的角．
∵PB=$\sqrt{3}$，∠ABP為直角，MB=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，∴EF=$\frac{\sqrt{11}}{2}$．
又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB=$\frac{BE}{EF}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．