Question

4．已知$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…類比得$\sqrt{m+\frac{n}{t}}$=m$\sqrt{\frac{n}{t}}$（m，n，t均為正整數(shù)），則關(guān)于正整數(shù)m的不等式tn+4m＜4m²解的個數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)類比式得出m，n，t的關(guān)系，將tn+4m＜4m²化成二次不等式解出．

解答 解：∵由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=2$\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}$=3$\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$=4$\sqrt{\frac{4}{15}}$，…類比得$\sqrt{m+\frac{n}{t}}$=m$\sqrt{\frac{n}{t}}$，
∴n=m，t=m²-1，
∵tn+4m＜4m²，∴m（m²-1）+4m＜4m²，
∵m是正整數(shù)，∴m²-1+4＜4m．解得1＜m＜3．∴m=2．即不等式只有一個正整數(shù)解．
故選B．

點評 本題考查了歸納推理，一元二次不等式的解法，尋找m，n，t的關(guān)系是解題關(guān)鍵．