Question

20．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M、N分別是面對角線A₁B與B₁D₁的中點，設$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{D{D_1}}$=$\overrightarrow c$．
（1）以{$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c}$}為基底，表示向量$\overrightarrow{MN}$；
（2）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（3）求直線MN與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的加法，即可得出結(jié)論；
（2）連A₁C₁、BC₁，則N為A₁C₁的中點，證明MN∥BC₁，即可證明結(jié)論；
（3）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，求出平面A₁BD的法向量，即可求直線MN與平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 （1）解：$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B{C_1}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{D_1}}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{D{D_1}}-\overrightarrow{DA}）=\frac{1}{2}（\overrightarrow c-\overrightarrow a）$．
（2）證明：連A₁C₁、BC₁，則N為A₁C₁的中點，
又M為A₁B的中點，
∴MN∥BC₁，
又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁．
（3）解：∵DA、DC、DD₁兩兩垂直，
∴可以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz．
設正方體棱長為2，
則M（2，1，1），N（1，1，2），A₁（2，0，2），B（2，2，0），
D（0，0，0），A（2，0，0），C₁（0，2，2），
∴$\overrightarrow{MN}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{D{A_1}}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{DB}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{A{C_1}}=（-2，2，2）$，
∵$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow{D{A_1}}=0$，$\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow{DB}=0$，
∴$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow{D{A_1}}$，$\overrightarrow{A{C_1}}⊥\overrightarrow{DB}$，
∴$\overrightarrow{A{C_1}}=（-2，2，2）$為平面A₁BD的法向量，
設直線MN與平面A₁BD所成的角為θ，
則$sinθ=cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{A{C_1}}＞=\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{C_1}}}}{{\overrightarrow{|MN}|•|\overrightarrow{A{C_1}}|}}=\frac{4}{{\sqrt{2}•2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以直線MN與平面A₁BD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．