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20.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M、N分別是面對角線A1B與B1D1的中點,設(shè)DA=a,DC=b,DD1=c
(1)以{a,b,\overrightarrow c}}為基底,表示向量MN;
(2)求證:MN∥平面BCC1B1
(3)求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值.

分析 (1)利用向量的加法,即可得出結(jié)論;
(2)連A1C1、BC1,則N為A1C1的中點,證明MN∥BC1,即可證明結(jié)論;
(3)以D為原點,DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz,求出平面A1BD的法向量,即可求直線MN與平面A1BD所成角的正弦值.

解答 (1)解:MN=12BC1=12AD1=12DD1DA=12ca
(2)證明:連A1C1、BC1,則N為A1C1的中點,
又M為A1B的中點,
∴MN∥BC1,
又MN?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
∴MN∥平面BCC1B1
(3)解:∵DA、DC、DD1兩兩垂直,
∴可以D為原點,DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz.
設(shè)正方體棱長為2,
則M(2,1,1),N(1,1,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),
D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),
MN=101DA1=202,DB=220AC1=222,
AC1DA1=0AC1DB=0,
AC1DA1,AC1DB,
AC1=222為平面A1BD的法向量,
設(shè)直線MN與平面A1BD所成的角為θ,
sinθ=cos<\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{C_1}}>=\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{C_1}}}}{{\overrightarrow{|MN}|•|\overrightarrow{A{C_1}}|}}=\frac{4}{{\sqrt{2}•2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3},
所以直線MN與平面A1BD所成角的正弦值為\frac{{\sqrt{6}}}{3}

點評 本題考查線面平行的判定,考查線面角,考查向量知識的運用,屬于中檔題.

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