Question

16、下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：
①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
其中，真命題的編號(hào)是

①，④

．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)正三棱錐的定義，結(jié)合二面角判斷①的正誤；側(cè)棱與底面所成的角判斷④的正誤；找出反例否定②，找出反例對選項(xiàng)③否定可得正確結(jié)論．

解答：解：①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
可推出底面中心等于是棱錐頂點(diǎn)在底面的射影，所以是正確的．
②顯然不對，比如三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐但不是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等，說明頂點(diǎn)到底面三邊的距離（斜高）相等，
根據(jù)射影長的關(guān)系，可以得到頂點(diǎn)在底面的射影（垂足）到底面三邊所在直線的距離也相等，
由于在底面所在的平面內(nèi)，到底面三邊所在直線的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)：內(nèi)心（本題的中心）1個(gè)、旁心3個(gè)，
因此不能保證三棱錐是正三棱錐．
④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．是正確的．
故答案為：①④

點(diǎn)評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角及其度量，考查作圖能力，是基礎(chǔ)題．