Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2

-y²=1與直線x+y=1相交于不同的兩點A、B．
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；
（2）若OA⊥OB（O是坐標(biāo)原點），求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0和方程二次項系數(shù)不等于0求得a的范圍，進(jìn)而利用a和c的關(guān)系，用a表示出離心率，根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍．
（2）由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，進(jìn)一步縱坐標(biāo)的積，由OA⊥OB列式求解a的值．

解答：解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，故知方程組

x2 a2 -y2=1 x+y=1

有兩個不同的實數(shù)解．
消去y并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0 (2a2)2-4(1-a2)(-2a2)＞0

，解得-

2

＜a＜

2

，且a≠±1．
雙曲線的離心率e=

c

a

=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵-

2

＜a＜

2

，且a≠±1，
∴e＞

6

2

，且e≠

2

．
∴離心率e的取值范圍為（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）知，x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

2a2

a2-1

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=1．
由OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=0，∴

2a2

a2-1

+1=

3a2-1

a2-1

=0．
解得：a=±

3

3

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用“設(shè)而不求”的辦法，借助于一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解決，訓(xùn)練了數(shù)量積判斷兩個向量垂直的關(guān)系，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．