Question

5．設(shè)f'（x）和g'（x）分別是函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x）•g'（x）≤0在區(qū)間I上恒成立，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性相反．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3ax與函數(shù)g（x）=x²+bx在開區(qū)間（a，b）（a＞0）上單調(diào)性相反，則b-a的最大值等于$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由條件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，從而求出a、b的取值范圍，建立b-a的表達式，求出最大值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3ax，g（x）=x²+bx，
∴f′（x）=x²-3a，g′（x）=2x+b；
由題意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+b＞0恒成立，
∴x²-3a≤0恒成立，即-$\sqrt{3a}$≤x≤$\sqrt{3a}$；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤$\sqrt{3a}$，
即0＜a≤$\sqrt{3a}$，解得0＜a≤3；
∴b-a≤$\sqrt{3a}$-a=-（$\sqrt{a}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
當a=$\frac{3}{4}$時，取“=”，
∴b-a的最大值為$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法問題，是易錯題．