Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知（1-a₂₀₁₂）³+2014（1-a₂₀₁₂）=2014，（a₃-1）³+2014（a₃-1）=2014，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A、S₂₀₁₄=2014，a₂₀₁₂＜a₃
• B、S₂₀₁₄=2014，a₂₀₁₂＞a₃
• C、S₂₀₁₄=2013，a₂₀₁₂＜a₃
• D、S₂₀₁₄=2013，a₂₀₁₂＞a₃

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-1）³+2014x，由函數(shù)的單調(diào)性可判a₂₀₁₂＜a₃，已知兩式相加分解因式，由g（t）為增函數(shù)，且g（2）=4028，可得t=2，進(jìn)而由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-1）³+2014x，
則f′（x）=3（x-1）²+2014＞0，
∴函數(shù)f（x）=（x-1）³+2014x單調(diào)遞增，
∵a₃³-3a₃²+2017a₃=4029，
即（a₃-1）³+2014a₃=4028，
即f（a₃）=4028＞f（a₂₀₁₂）=0，
∴a₂₀₁₂＜a₃，排除B和D，
已知兩式相加可得（a₂₀₁₂-1）³+2014a₂₀₁₂+（a₃-1）³+2014a₃=4028
分解因式可得（a₃+a₂₀₁₂-2）[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]+2014（a₃+a₂₀₁₂）=4028，
令a₃+a₂₀₁₂=t，則有g(shù)（t）=[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]（t-2）+2014t，
∵[（a₂₀₁₂-1）²-（a₂₀₁₂-1）（a₃-1）+（a₃-1）²]＞0，∴g（t）為增函數(shù)，
又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a₃+a₂₀₁₂=2，
∴S₂₀₁₄=

1

2

×2014（a₁+a₂₀₁₄）=

1

2

×2014（a₃+a₂₀₁₂）=2014
故選：A

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和構(gòu)造函數(shù)的技巧，屬中檔題．