Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據線面垂直的判定定理和性質定理，可證PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，P的坐標，求出向量

AB

，

PB

，

BC

，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．

解答：（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，則
A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，1）．

AB

=（-1，

3

，0），

PB

=（0，

3

，-1），

BC

=（-1，0，0），
設平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =0 n • PB =0

即

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

，
因此可取

n

=（

3

，1，

3

）
設平面PBC的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • cB =0 m • PB =0

，
即：

x=0 3 y-z=0

可取

m

=（0，1，

3

），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

4

2 7

=-

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的余弦值為：-

2 7

7

．

點評：此題是個中檔題．考查線面垂直的性質定理和判定定理，以及應用空間向量求空間角問題，查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．