Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-x，x＞1\\ 1，x≤1\end{array}\right.$，則不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$的解集是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出x＞1的導數(shù)，判斷符號，可得f（x）在R上單調(diào)遞增，討論x＞1，0＜x≤1，x＜0，得到不等式組，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-x，x＞1\\ 1，x≤1\end{array}\right.$，
由x＞1時，y=2x-x的導數(shù)為y′=2^xln2-1，
2^xln2-1＞0，
可得f（x）在R上單調(diào)遞增，
由不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$，
可得當x＞1時，x＜$\frac{2}{x}$解得1＜x＜$\sqrt{2}$；
當0＜x≤1時，x＜$\frac{2}{x}$解得0＜x≤1；
當x＜0時，不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$不成立．
綜上可得，不等式$f（x）＜f（{\frac{2}{x}}）$的解集是（0，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（0，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用：解不等式，注意運用導數(shù)判斷單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，以及運算能力，屬于中檔題和易錯題．