Question

2．已知函數(shù)f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求f（x-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值．
（2）根據(jù)f（x）=$\frac{3}{2}$的值；構(gòu)造f（x-$\frac{π}{6}$）的關(guān)系式，即可求值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1，
化簡可得：f（x）=1-cos（2x+$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x-1
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]．
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]
2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，2]
故得f（x）的最小值為1．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
可得：f（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{2π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}-\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-2cos（2x-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$．
∵f（x）=$\frac{3}{2}$，即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，
可得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$$＜\frac{2\sqrt{3}}{4}$，
即2x-$\frac{π}{3}$$＜\frac{π}{3}$，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
那么：f（x-$\frac{π}{6}$）=$2×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}+3}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．