Question

如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，兩根鋼管相距1m，AB=10

3

m，CD=3

3

m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進行加固，在AB上取一點E，以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個直線型的加固．設(shè)BE=x（m），∠EFD=θ（rad），EF=l（m）．
（1）試將l（m）分別表示成x（m），θ（rad）的函數(shù)；
（2）選擇其中一個函數(shù)模型求l（m）的最小值，并求相應(yīng)的x（或θ）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形相似，求出DF，在△FBE中，根據(jù)勾股定理列出l與x的關(guān)系式；過C作CM⊥AB于點M，在△CFD中和△CME中，分別用θ表示出CF和CE，即可列出l與θ的關(guān)系式；
（2）選擇l與θ的關(guān)系式或l與x的關(guān)系式進行求解，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可求得答案．

解答：解：（1）①根據(jù)題意，可得△CFD～△AFB，則有

DF

DF+1

=

3 3

x

，即DF=

3 3

x-3 3

，
∴l(x)=

(1+ 3 3 x-3 3 )2+x2

=

( x x-3 3 )2+x2

，x∈(3

3

，10

3

]；
②過C作CM⊥AB于點M，在△CFD中，CF=

3 3

sinθ

，在△CME中，CE=

1

cosθ

，
∴l(θ)=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

，θ∈（0，α]，其中α是銳角且tanα=7

3

．
（2）①若選l是θ的函數(shù)，
∵l(θ)=

3 3

sinθ

+

1

cosθ

，θ∈（0，α]，
∴l′(θ)=

-3 3 cosθ

sin2θ

+

sinθ

cos2θ

=

sin3θ-3 3 cos3θ

sin2θcos2θ

，
令l′（θ）=0，得θ=

π

3

，
∴當θ∈(0，

π

3

)⇒l′(θ)＜0⇒l(θ)在(0，

π

3

)遞減，當θ∈(

π

3

，α]⇒l′(θ)＞0⇒l(θ)在(

π

3

，α]遞增，
∴當且僅當θ=

π

3

時，l(θ)min=l(

π

3

)=8(m)；
②若選l是x的函數(shù)，
∵l(x)=

(1+ 3 3 x-3 3 )2+x2

=

( x x-3 3 )2+x2

，x∈(3

3

，10

3

]，
∴令μ(x)=(

x

x-3 3

)2+x2，x∈(3

3

，10

3

]，
∴μ′(x)=2x

(x-3 3 )3-3 3

(x-3 3 )3

，
令μ′（x）=0，得x=4

3

或x=0（舍去），
∴當x∈(3

3

，4

3

)⇒μ′(x)＜0⇒μ(x)在(3

3

，4

3

)遞減，當x∈(4

3

，10

3

]⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(4

3

，10

3

]遞增，
∴當且僅當x=4

3

時，l（x）_min=8（m）．

點評：本題考查了函數(shù)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用，關(guān)鍵是尋找到合適的變量建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識求解函數(shù)的最值．本題主要是應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的通法．屬于中檔題．