Question

17．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）若點P在曲線C上，點Q在直線l上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1可得普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直線l的極坐標方程ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直角坐標方程．
（2）令P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π））．則點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）=4，可得直角坐標方程：x+y-4=0．
（2）令P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π））．則點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$≥$\sqrt{2}$，當且僅當$sin（α+\frac{π}{3}）$=1時取等號．
∴線段PQ的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．