Question

8．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為f′（x）．若對于任意的x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，則滿足不等式f（x）＞e^x-1f（1）的x的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導，由已知條件可知F（x）在定義域R上單調(diào)遞增，將原不等式轉(zhuǎn)化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，根據(jù)單調(diào)即可求得x的取值范圍．

解答 解：設(shè)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴F（x）在定義域R上單調(diào)遞增，
將原不等式f（x）＞e^x-1f（1），
轉(zhuǎn)化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即F（x）＞F（1），
∴x＞1，
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用：解不等式，同時考查構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，屬于中檔題．