Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為。我們將其結(jié)論推廣：橢圓上的點(diǎn)處的切線方程為，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用。已知，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求的值；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點(diǎn)作直線與該橢圓交于、兩點(diǎn)，在線段上存在點(diǎn)，使成立，試問：點(diǎn)是否在直線上，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）將直線y＝x代入橢圓方程，得到x的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得a的值；（2）設(shè)切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得切線,,，再將M代入上式，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦方程，AB的方程為x+my＝1，將直線與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得△OAB的面積，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值；（3）點(diǎn)在直線上，因?yàn)?/span>

設(shè)、、，且，于是，向量坐標(biāo)化，得、、、，將代入橢圓方程，結(jié)合、在橢圓上，整理化簡(jiǎn)得，即在直線上.

（1）聯(lián)立，整理得

依題意，即

（2）設(shè)、,于是直線、的方程分別為、

將代入、的方程得且

所以直線的方程為

聯(lián)立

顯然，由，是該方程的兩個(gè)實(shí)根，有，

面積

即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，取得最大值

（3）點(diǎn)在直線上，因?yàn)?/span>

設(shè)、、，且

于是，即、、、

又，

，

，即在直線上.