【題目】如圖,在多面體中,平面平面,四邊形為正方形,四邊形為梯形,且,,,.
(1)求證:;
(2)若為線段的中點,求證:平面;
(3)求多面體的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】
(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面,由線面垂直的定義即可證得.
(2)延長交于點,由題意可證得四邊形為平行四邊形,據(jù)此結(jié)合線面平行的判定定理證明題中的結(jié)論即可;
(3)設為中點,連接,.將多面體分割為兩部分,分別求解對應的體積,然后相加即可確定多面體的體積.
(1)證明:因為四邊形為正方形,所以.
又因為平面平面,
且平面平面, 平面,
所以平面.
又平面,所以.
(2)延長交于點,
因為,為中點,
所以≌,
所以.
因為,所以.
由已知,且,
又因為,所以,且,
所以四邊形為平行四邊形,所以.
因為平面,平面,
所以平面.
(3)設為中點,連接,.
由已知,所以平面.
又因為,所以平面,
所以平面平面.
因為,,所以平面,
所以多面體為直三棱柱.
因為,且,
所以.
由已知,且,
所以,且.
又因為,平面,
所以平面.
因為,
所以,
所以.
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【題目】設△ABC的內(nèi)角為A、B、C所對邊的長分別是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;
(2)求sin(A+ )的值.
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【題目】如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率 ,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點,|AA′|=4.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.若PQ⊥P'Q,求圓Q的標準方程.
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【題目】一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球,從中隨機抽取m個作為樣本,稱出它們的重量(單位:克),重量分組區(qū)間為,,,,由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖).
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球重量的中位數(shù)與平均值(精確到0.01);
(2)從盒子裝的大量小球中,隨機抽取3個小球,其中重量在內(nèi)的小球個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望。
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【題目】在某市組織的一次數(shù)學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100),已知成績在90分以上的學生有13人.
(1)求此次參加競賽的學生總數(shù)共有多少人?
(2)若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學生,問受獎學生的分數(shù)線是多少?
(參考數(shù)據(jù):若,則;;)
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【題目】一半徑為的水輪如圖所示,水輪圓心距離水面;已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動,每轉(zhuǎn)一圈,如果當水輪上點從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計算時間.
(1)以水輪所在平面與水面的交線為軸,以過點且與水面垂直的直線為軸,建立如圖所示的直角坐標系,將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù);
(2)點第一次到達最高點大約要多長時間?
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【題目】已知函數(shù),(為常數(shù)).
(1)當時,判斷在的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)討論零點的個數(shù).
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【題目】設橢圓 =1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為 ,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B分別為橢圓的左,右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若 =8,求k的值.
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【題目】已知關(guān)于直線對稱,且圓心在軸上.
(1)求的標準方程;
(2)已經(jīng)動點在直線上,過點引的兩條切線、,切點分別為.
①記四邊形的面積為,求的最小值;
②證明直線恒過定點.
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