Question

4．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下頂點(diǎn)分別為B₂，B₁，左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，若線段A₂B₂的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)B₁，則橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知條件，轉(zhuǎn)化為：B₁B₂=A₂B₁，然后求解橢圓的離心率即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下頂點(diǎn)分別為B₂，B₁，左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，
若線段A₂B₂的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)B₁，
可得B₁B₂=A₂B₁，
即：2b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，可得：a²=3b²=3a²-3c²，即2a²=3c²，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．