Question

16．已知sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，0≤x≤π，則sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值為$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 由已知可求sinx＞0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinx，進(jìn)而可求cosx，利用二倍角公式可求sin2x，cos2x的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵sinx-cosx=$\frac{1}{5}$，sin²x+cos²x=1，
∴可得：25sin²x-5sinx-12=0，解得：sinx=$\frac{4}{5}$或-$\frac{3}{5}$，
又∵0≤x≤π，sinx≥0，
∴sinx=$\frac{4}{5}$，
∴cosx=sinx-$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$，sin2x=2sinxcosx=$\frac{24}{25}$，cos2x=2cos²x-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）=sin2xcos$\frac{π}{4}$+cos2xsin$\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故答案為：$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．