【題目】已知橢圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),問:在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)定點(diǎn)為,.
【解析】
試題分析:(1)由離心率為可得,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓的方程為,其與直線相切,利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑可得,再由即可求得,方程得解;(2)假設(shè)在軸上存在點(diǎn),使為定值,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算得到坐標(biāo)的關(guān)系,設(shè)出直線的方程,整理方程組得到坐標(biāo)的關(guān)系并代入,要使其值與的斜率,則分離參數(shù),讓其系數(shù)為零,即得點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1) 由e=,得=,即c=a ① 又因?yàn)橐栽c(diǎn)O為圓心,
橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2,且與直線2x-y+6=0相切,
a==,代入①得c=2,所以b2=a2-c2=2.
橢圓的方程為+=1.
(2)由 得:(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1·x2=,
根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),使得2+·=·(+)=·為定值,
則有: ·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)
=(k2+1)·-(2k2+m)·+(4k2+m2)=.
要使上式為定值,即與k無關(guān),則應(yīng)使3m2-12m+10=3(m2-6), 即,
此時(shí) 為定值,定點(diǎn)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在“普及環(huán)保知識(shí)節(jié)”后,為了進(jìn)一步增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生參加環(huán);A(chǔ)知識(shí)測(cè)試.經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生測(cè)試的分?jǐn)?shù)全部介于75至100之間.將數(shù)據(jù)分成以下組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第3,4,5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生座談,求每組抽取的學(xué)生人數(shù);
(Ⅲ)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估計(jì)隨機(jī)抽取學(xué)生所得測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值在第幾組(只需寫出結(jié)論).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算該項(xiàng)目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:
,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元,若該項(xiàng)目不獲利,政府將給予補(bǔ)貼.
(1)當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開,本屆大會(huì)以“節(jié)能減排,綠色生態(tài)”為主題,某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),采用了新式藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品,已知該單位每月的處理量最少為300噸,最多為600噸,月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?
(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題對(duì)任意實(shí)數(shù),不等式恒成立;命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若命題:“”為真命題,且“”為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線:,過焦點(diǎn)斜率大于零的直線交拋物線于、兩點(diǎn),且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn).
(1)若線段的長為,求直線的方程;
(2)在上是否存在點(diǎn),使得對(duì)任意直線,直線,,的斜率始終成等差數(shù)列,若存在求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R.
(I)若x=e是y=f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)﹣4e2只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上.命題直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且直線過橢圓的左焦點(diǎn),是真命題.
(I)求直線的方程;
(II)直線與拋物線相交于、,直線、,分別切拋物線于,求的交點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,, ,,為的中點(diǎn).
(1)求異面直線,所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)在線段上,且,若直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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