【題目】已知O為坐標(biāo)原點，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）是橢圓 + =1上的點，且x1x2+2y1y2=0，設(shè)動點P滿足 = +2
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點，求三角形OAB面積的最大值．

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），
即x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 因為點M，N在橢圓 上，
所以 ，
故
=
=20+4（x1x2+2y1y2），
設(shè)kOM ， kON分別為直線OM，ON的斜率，
由題意知， ，
因此x1x2+2y1y2=0，
所以動點P的軌跡C的方程為x2+2y2=20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P點是橢圓 上的點，
設(shè)該橢圓的左右焦點為F1、F2 ， 則由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|為定值，
又因為 ，
因此兩焦點的坐標(biāo)分別為 ．
將曲線C與直線l聯(lián)立： ，消y得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，
∵直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），
∴△=16m2﹣4×3×（2m2﹣20）＞0， ，
又∵m≠0，得0＜m2＜30，
∵點O到直線AB：x﹣y+m=0的距離 ，
∴ ，
∴
= ．
∴三角形OAB面積的最大值為5
【解析】（Ⅰ）設(shè)點P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），由點差法得 ，由此能求出動點P的軌跡C的方程．（Ⅱ）將曲線C與直線l聯(lián)立： ，得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，設(shè)A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出三角形OAB面積的最大值．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四面體ABCD的頂點都在同一個球的球面上，BC= ，BD=4，且滿足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若該三棱錐的體積為 ，則該球的球面面積為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，點P為直線x+2y﹣9=0上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則 的取值范圍為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知過拋物線E：x2=4y的焦點F的直線交拋物線E與A、C兩點，經(jīng)過點A的直線l1分別交y軸、拋物線E于點D、B（B與C不重合），∠FAD=∠FDA，經(jīng)過點C作拋物線E的切線為l2 ．
（Ⅰ）求證：l1∥l2；
（Ⅱ）求三角形ABC面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos2x，二次函數(shù)g（x）滿足g（0）=4，且對任意的x∈R，不等式﹣3x2﹣2x+3≤g（x）≤4x+6成立，則函數(shù)f（x）+g（x）的最大值為（ ）
A.5
B.6
C.4
D.7

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】閱讀程序框圖，該算法的功能是輸出（ ）
A.數(shù)列{2n﹣1}的前 4項的和
B.數(shù)列{2n﹣1}的第4項
C.數(shù)列{2n}的前5項的和
D.數(shù)列{2n﹣1}的第5項

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知菱形ABEF所在的平面與△ABC所在的平面相互垂直，AB=4，BC= ，BC⊥BE，∠ABE= ．

（1）求證：BC⊥平面ABEF；
（2）求平面ACF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合，且.

（1）證明：若，則是偶數(shù)；

（2）設(shè)，且，求實數(shù)的值；

（3）設(shè)，求證：；并求滿足的的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，a=2bcosB，b≠c．
（1）證明：A=2B；
（2）若a2+c2=b2+2acsinC，求A．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案