Question

15．求下列直線或圓的方程
（1）過點(diǎn)（2，1）且與直線x+3y+4=0垂直的直線方程；
（2）以線段AB：x+y-2=0（0≤x≤2）為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）圓C₁：（x+1）²+（y-1）²=1，圓C₂與圓C₁關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意和垂直關(guān)系可得直線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式可得．
（2）在圓C₂上任取一點(diǎn)（x，y），求出此點(diǎn)關(guān)于直線X-Y-1=0的對稱點(diǎn)，則此對稱點(diǎn)在圓C₁上，再把對稱點(diǎn)坐標(biāo)代入圓C₁的方程，化簡可得圓C₂的方程．
（3）分別令x=0與y=0求出線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AB的長，即為圓的直徑，確定出圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答 解：（1）：∵直線x+3y+4=0的斜率為-$\frac{1}{3}$∴與直線x+3y+4=0垂直的直線斜率為3，
故點(diǎn)斜式方程為y-1=3（x-2），
化為一般式可得3x-y-5=0，
（2）對于x+y-2=0（0≤x≤2），
令x=0，得到y(tǒng)=2；令y=0，得到x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即為圓心坐標(biāo)；
|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{2}$，即圓的半徑為$\sqrt{2}$，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
（3）在圓C₂上任取一點(diǎn)（x，y），則此點(diǎn)關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點(diǎn)（y+1，x-1）在圓C₁：（x+1）²+（y-1）²=1上，
∴有（y+1+1）²+（x-1-1）²=1，即 （x-2）²+（y+2）²=1，

點(diǎn)評 本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，一曲線關(guān)于一直線對稱的曲線方程的求法，直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．