Question

10．設(shè)F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OF的垂直平分線與漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為$\frac{2}{3}$|OF|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得a，c的關(guān)系式，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
由OF的垂直平分線為x=$\frac{c}{2}$，將x=$\frac{c}{2}$，代入y=$\frac{a}$x，則y=$\frac{bc}{2a}$，
則交點(diǎn)坐標(biāo)為M（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
由M，到y(tǒng)=-$\frac{a}$x，即bx+ay=0的距離d=$\frac{|\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2}{3}$|OF|=$\frac{2c}{3}$，
解得：2c=3b=3$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即9a²=5c²，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．