Question

已知四棱錐P-ABCD，PC⊥底面ABCD，PC=2，且底面ABCD是邊長為1的正方形，E是側(cè)棱PC上的 一點，點F在線段BD上，且滿足DF=3BF，若EF∥平面PAB．
（1）求

PE

EC

的值；
（2）求二面角B-EF-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出

PE

EC

．
（2）由（1）得E（0，0，

3

2

），求出平面EFB的法向量和平面EFC的法向量，利用向量法能求出二面角B-EF-C的余弦值．

解答： 解：（1）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，CP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CE=t，由已知得E（0，0，t），F(xiàn)（

1

4

，

3

4

，0），
P（0，0，2），A（1，1，0），B（0，1，0），

PA

=(1，1，-2)，

PB

=（0，1，-2），
設(shè)平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PB =y-2z=0 n • PA =x+y-2z=0

，
取z=1，得

n

=（0，2，1），

EF

=（

1

4

，

3

4

，-t），
∵EF∥平面PAB，
∴

EF

•

n

=

3

2

-t=0，解得t=

3

2

，
∴

PE

EC

=

2- 3 2

3 2

=

1

3

．
（2）由（1）得E（0，0，

3

2

），

EF

=（

1

4

，

3

4

，-

3

2

），

EB

=（0，1，-

3

2

），

EC

=（0，0，-

3

2

），
設(shè)平面EFB的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • EF = 1 4 a+ 3 4 b- 3 2 c=0 m • EB =b- 3 2 c=0

，
取c=2，得

m

=（3，3，2），
設(shè)平面EFC的法向量

p

=（x₁，y₂，z₃），
則

p • EF = 1 4 x1+ 3 4 y1- 3 2 z1=0 p • EC =- 3 2 z1=0

，
取y₁=-1，得

p

=（3，-1，0），
設(shè)二面角B-EF-C的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

p

＞|=|

9-3+0

22 • 10

|=

3 55

55

．
∴二面角B-EF-C的余弦值為

3 55

55

．

點評：本題考查線段的比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．