Question

9．已知a＞0，b＞0滿足a+b=ab-3，那么a+2b的最小值為4$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 由題意，利用已知條件將a+2b化成關于b的式子，變形轉化，利用均值不等式求出其范圍，找到最小值，注意取“=”條件．

解答 解：因為a+b=ab-3，
所以ab-a=b+3，
又因為a＞0，b＞0，
所以a=$\frac{b+3}{b-1}$，
所以a+2b=$\frac{b+3}{b-1}$+2b=$\frac{b-1+4}{b-1}+2（b-1）+2$=$\frac{4}{b-1}$+2（b-1）+3≥2$\sqrt{\frac{4}{b-1}•2（b-1）}$+3=4$\sqrt{2}$+3，當且僅當$\frac{4}{b-1}$=2（b-1）即b=$\sqrt{2}+1$時取“=”，
所以答案為：4$\sqrt{2}$+3．

點評 本題主要考查均值不等式的取等條件，是本類題容易出錯的地方．