Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），B₁，B₂分別是其上、下頂點，橢圓C的左焦點F₁在以B₁B₂為直徑的圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F₁且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點N，點N的橫坐標的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0），求線段AB長的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓中B₁，B₂分別是其上、下頂點，橢圓C的左焦點F₁在以B₁B₂為直徑的圓上．得到b=c=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+1），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線方程、弦長公式，能求出線段AB長的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），B₁，B₂分別是其上、下焦點，
橢圓C的左焦點F₁在以B₁B₂為直徑的圓上．
∴b=c=1，∴a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+1），
聯(lián)立直線與橢圓方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
解得y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
∴AB中點Q（-$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$），
QN直線方程為：$y-\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）=-$\frac{1}{k}x-\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，
∴N（-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，0），由已知得-$\frac{1}{4}＜-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}＜0$，
∴0＜2k²＜1，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\sqrt{2}（1+\frac{1}{2{k}^{2}+1}）$，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2{k}^{2}+1}＜1$，
∴|AB|∈（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查橢圓方程、線段長的取值范圍的求法，考查橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題，解題時要注意韋達定理、中點坐標公式、直線方程、弦長公式的合理運用．